Le cours de MAT 1073 Calcul différentiel et intégral 2 est la suite du cours MAT 1063.  Il permet à l’étudiant d'approfondir ses connaissances dans le domaine du calcul différentiel et intégral et de se familiariser avec les méthodes usuelles d'intégration.  Il utilisera ces méthodes pour calculer des aires, des volumes et des longueurs, pour calculer des limites faisant appel à des formes indéterminées et pour résoudre des équations différentielles simples.  Il appliquera ces notions aux intégrales impropres et étudiera les suites et les séries, incluant le développement de fonctions en séries de Taylor et de Maclaurin.

Comme tout cours de mathématiques, ce cours vise à développer chez l'étudiant sa compétence à interpréter différentes situations, à explorer des avenues de solutions et à résoudre un problème, tout en maintenant une bonne rigueur mathématique.  L'esprit d'analyse et de synthèse, qui sont des éléments propres à toute bonne démarche scientifique, sera mis à contribution.  Pour y arriver, l’étudiant devra :

• Énoncer et comprendre les théorèmes de Rolle, de Lagrange, de Cauchy et la règle de l’Hospital.

• Calculer les limites de fonctions présentant des formes indéterminées.

• Déterminer l’intégrale indéfinie d’une fonction.

• Appliquer correctement et selon les situations appropriées les différentes techniques d’intégration.

• Reconnaître et modéliser des situations à l’aide d’équations différentielles.

• Résoudre des équations différentielles simples.

• Calculer l’intégrale définie d’une fonction sur un intervalle.

• Calculer l’intégrale impropre d’une fonction sur un intervalle.

• Calculer des aires, des volumes et des longueurs et construire des représentations graphiques dans le plan et l’espace.

• Modéliser et résoudre une situation impliquant des sommes infinies.

• Analyser la convergence des séries.

• Développer une fonction en série de MacLaurin et en série de Taylor.

• Effectuer des calculs numériques, des approximations et des intégrales définies à l’aide de développements en série.

• Dérivée et théorèmes d’analyse : Rappel de la notion de dérivée,  interprétation graphique de la dérivée, dérivée à partir d’équations implicites, dérivation logarithmique.  Théorèmes sur les fonctions continues : théorème de la valeur intermédiaire, théorème des valeurs extrêmes, théorème de Rolle, théorème de Lagrange, corollaires du théorème de Lagrange, théorème de Cauchy.

• Règle de l’Hospital : Formes indéterminées de type 0/0 et 4/4.  Autres formes indéterminées : 0.4, 0⁰, 4⁰, 1⁴, 4 - 4.

• Intégration : Différentielle.  Intégrale indéfinie et formules de base, changement de variables.  Résolution d’équations différentielles.  Applications de l’intégrale indéfinie : problèmes de physique, de croissance et de décroissance exponentielle, d’économie.

• Techniques d’intégration : Intégration par parties, intégration de fonctions trigonométriques, intégration de puissances de sinus et de cosinus, intégration de puissances de sécantes et de tangentes, substitutions trigonométriques, intégration des fonctions rationnelles et fractions partielles, changements de variable particuliers.

• Intégrale définie : Notions de sommation.  Calcul d’aires à l’aide de limites.  Somme de Riemann.  Propriétés de l’intégrale définie.  Théorème fondamental du calcul.  Changement de variable dans une intégrale définie.  Calcul d’aires et applications de l’intégrale définie.  Aire de régions délimitées par une courbe et un axe sur un intervalle donné.  Calcul d’aires planes (selon un axe vertical, selon un axe horizontal),  Aire de régions fermées comprises entre deux courbes.  Applications de l’intégrale définie (travail effectué par une force variable, centre de gravité).  Intégration numérique : méthode des trapèzes. méthode de Simpson.

• Applications de l’intégrale définie : Volume de solides de révolution (méthode du disque, méthode du tube).  Volume de solides de section connue.  Longueur de courbes.  Aire d’une surface de révolution.

• Intégrales impropres : Intégrales de fonctions tendant vers ±¥, intégrales de fonctions où au moins une des bornes d’intégration est infinie, test de comparaison pour les intégrales impropres.

• Suites : Terme général, représentation graphique, convergence et divergence, suites bornées et suite monotones.

• Séries : Notation 3, propriétés algébriques, série harmonique, série arithmétique, série géométrique.  Séries à termes positifs : critère du terme général, critère de l’intégrale, série de Riemann, critère de comparaison, critère de comparaison à l’aide d’une limite, critère des polynômes, série de d’Alembert (critère du rapport), série de Cauchy (critère de la racine n^e).  Séries alternées, convergence absolue et convergence conditionnelle.  Séries de puissances : convergence et divergence, dérivation et intégration de séries de puissances.  Séries de Taylor et séries de Maclaurin : développement en séries de Taylor et de Maclaurin, rayon de convergence, calculs basés sur les séries de Taylor et de Maclaurin, approximation d’intégrales définies à l’aide de séries de Taylor et de Maclaurin.

Préalable : MAT 1063 ou l'équivalent.

Note : Ce cours est équivalent au cours MAT 203
du système collégial pré-universitaire québécois (cégep).